(Pendukung Pert. 8)
Pendugaan Nilai Tengah
1. Pendugaan Titik
Besaran contoh (sample) digunakan sebagai penduga besaran populasi. Besaran contoh disebut
statistik sebagai penduga besaran populasi yang
disebut parameter.
Misalnya parameter  diduga dengan besaran
contoh θˆ  θˆ (X 1, X 2 , ... X n )
 Beberapa besaran contoh antara lain:
1. Rata-rata (nilai tengah) contoh = X
X
X
i 1
n
i
 θˆ (X 1 , X 2 , ... X n )
2. Ragam contoh = S2
2
1 n
S 
(X

X
)
 θˆ (X 1 , X 2 ,... X n )

i
n  1 i 1
2
3. Simpangan baku contoh = S
S
2
1 n
(Xi

X
)
 θˆ (X 1 , X 2 ,...X n )

n - 1 i1
1
 Sebaran nilai tengah contoh = X
E(X)  μ
σ2
ν(X) 
n
σ ,
σ(X) 
n
masing - masing merupakan penduga tidak
bias, selainnya disebut penduga yang bias.
 Sifat-sifat Penduga
a. Penduga tak bias
θ̂ merupakan penduga tak bias bagi  jika
E ( θ̂ ) = .
Suatu peubah acak X dengan nilai tengah 
dan ragam 2. misalkan dari populasi
tersebut diambil contoh acak berukuran n
dengan pengamatan X1, X2, … Xn.
Tunjukkan bahwa X dan S2 merupakan
penduga tidak bias terhadap  dan 2
petunjuk :
E(X n )
 n
 E(X 1 ) E(X 2 )
 E (X)  E   Xi/n  


n
n
n
 i 1

1 n
nμ
  E (Xi) 
μ
n i 1
n
2
2 
 n
  (X i - X) 
2
 n

1

2
2
i

1


 E (S )  E

 X i   n E( X) 

 n - 1  
n 1

 i 1 




1

 nσ 2  nμ 2  σ 2  nμ 2
n -1
1

nσ 2  nσ 2
n -1
1

 (n  1) σ 2  σ 2
n 1




b. Penduga Efisien
Jika ragam 1 dan 2 masing-masing
sebesar (1) dan (2) dinamakan penduga
yang lebih efisien dari penduga 2 apabila:
ν( θˆ 1 )
 1 atau ragam θˆ 1 lebih
ν( θˆ )
2
kecil dari ragam θˆ 2
c. Penduga Konsisten
Penduga konsisten adalah penduga dimana
semakin besar contohnya semakin mendekati nilai parameternya
l im P(| X  μ | ε)  1
n~
X penduga yang konsisten
3
2. Penduga Selang (Interval)
1. Pendugaan selang bagi nilai tengah populasi 
bila 2 diketahui
σ
σ 

P X  Z  .
 μ  X  Z .
  1 α
2
2
n
n

2. Pendugaan selang kepercayaan bagi nilai
tengah  bila 2 tidak diketahui
a. n  30
S
S 

P X  Z .
 μ  X  Z .
  1 α
2
2
n
n

b. n < 30
S
S 

P  X   (n - 1)
   X  t  (n  1).   1 α
2
2
n
n

3. Pendugaan selang 1 - 2 :
a. Bila dua populasi dengan ragam
diketahui maka:
12 dan  22

12  22
12  22 

P ( X 1  X 2 )  Z .

 1   2  ( X 1  X 2 )  Z  .

1 


2
2
n
n
n
n
1
2
1
2 

4
b. Bila dua populasi dengan ragam 1 ,  22
tidak diketahui tetapi n1, n2  30 maka:
2

S12 S 22
S12 S 22 

P ( X 1  X 2 )  Z .

 1   2  ( X 1  X 2 )  Z  .

 1 

2
2
n1 n 2
n1 n 2 


c. Bila dua populasi dengan ragam 1 =  2
tetapi besar-nya tidak diketahui dan n1, n2 <
30 maka:
2
2

1 1
1 1 
P  ( X 1  X 2 )  t  . () . Sp
  1   2  ( X 1  X 2 )  t  .() . Sp
   1 
2
2
n
n
n
n2 
1
2
1

(n1  1)S12  (n2  1)S 22
ν  n1  n2  2 ; Sp 
n1  n2  2
d. Bila dua populasi dengan ragam 12 dan  22
tidak diketahui dan n1, n2 < 30 maka:

S12 S22
S12 S22 

P ( X 1  X 2 )  t  . ( ) .
  1  2  ( X 1  X 2 )  t  .() .

 1 


2
2
n
n
n
n
1
2
1
2


2
 S12
S22 
 n  n 
1
2


2
2
 S12 
 S22 
 n  n 1  n 
1
1
2


n2 1
5
e. Bila dua populasi saling bergantung
(berpasangan) maka:

Sd
Sd 
P (d  t  (n  1) .
  d  d  t  (n  1) .
  1  
2
2
n
n

 n

2
n d i    d i 
 i 1 
d i  X 2i  X 1i , Sd 2  i 1
n (n - 1)
n
2
4. Pendugaan selang kepercayaan populasi = P
untuk contoh (sample) besar.

ˆ  Z
P p

2

P̂q̂
ˆ  Z
 p p
2
n
p̂q̂ 
1 

n

P̂ = Proporsi yang sukses dalam contoh acak
berukuran n
q̂ = 1 - p̂
5. Pendugaan ragam (varians). Selang kepercayaan untuk 2 dari suatu populasi normal.


(n  1)
(n  1) S2 

2
P 2   
 1 
12 
 
2
2


S2 = ragam contoh acak
n  X i2   X i 
2
S2 
n(n  1)
6
6. Pendugaan nisbah suatu populasi normal
 2

S1
1
12 S12

P 2 .
 2  2  f  (1 ,  2 )   1  
2
 S2 f  (1 ,  2 ) 2 S2

2


7

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download