Modul 7.
Pendugaan Parameter
 Pengertian Inferensia Statistik
Inferensia Statistik dapat dikelompokan kedalam dua
bidang utama:
1. Pendugaan Parameter
2. Pengujian Hipotesis
 Pendugaan Parameter
Maksudnya : suatu statistik ̂ merupakan nilai
dugaan bagi parameter populasi 
Misalnya x merupakan nilai dugaan bagi , penduga ini disebut Penduga Titik.
 Definisi
Suatu statistik ̂ disebut penduga tak bias bagi
parameter  bila  = E() = 
Penduga yang lebih baik: Dugaan Selang
Secara umum: dugaan selang bagi parameter
ˆ 
ˆ
populasi  adalah suatu yang berbentuk 
1
1
Dalil Limit Pusat.
1
Bila contoh acak berukuran n ditarik dari suatu
populasi yang besar atau tak hingga dengan nilai
tengah  dan ragam 2, maka nilai tengah contoh x
akan menyebar menghampiri sebaran normal dengan
nilai tengah contoh x =  dan simpangan baku
x 

n
z 
x

∽ normal baku
n
Dalil limit pusat berlaku juga untuk  yang tak diketahui asal
n > = 30, bagaimanapun bentuk
populasinya.
Istilah yang berkaitan:
- selang kepercayaan (1 - ) 100%
- koefisien kepercayaan
- galat baku (standar error) statistik secara umum
(untuk contoh besar dari satu populasi)
statistiknya = ̂
,galat baku 
ˆ  ˆ

misalnya:


Penduga: * x , galat baku x    x  n
(statistik)

 Pˆ , galat baku Pˆ   Pˆ 
pˆ qˆ
n
 Pendugaan Nilai Tengah Satu Populasi
2
Penduga titiknya adalah
Dasarnya :

X ~ N  , 2
x

 2
X ~ N   , 
n 

z
x

~ N 0,1
n



P  z  z  z   1  
2 
 2


x

P  z    z   1  
 2

2 
n

 Selang kepercayaan bagi  ;  diketahui
Bila x adalah rata-rata contoh acak berukuran n yg
diambil dari populasi dengan ragam 2 diketahui
maka selang kepercayaan (1-) 100% bagi  adalah
x  z
2

n
   x  z
2

n
3
z
2
adalah nilai
z
yang luas daerah dikanannya

sebesar 2
 untuk ukuran contoh n > = 30, rumus diatas dapat
digunakan, meskipun  tidak diketahui dan diganti
dengan simpangan baku contoh s
Teladan
 Interpretasi selang kepercayaan
Sebaran t
 Populasi menyebar normal, ragam tak diketahui
contoh kecil ( n < 30 )
Dalil.
Bila x dan s2 masing-masing adalah rataan dan
ragam suatu contoh acak berukuran n yang diambil
dari suatu populasi normal dengan nilai tengah 
dan ragam 2 , maka
t
x
s
n
4
merupakan suatu nilai peubah acak T yang mempunyai sebaran t dengan v = n – 1 derajat bebas.
- Kurva sebaran t untuk berbagai derajat bebas
- Cara membaca tabel yang merupakan daerah
dibawah kurva (tabel A.4)
- Teladan


P  t  T  t   1  
2 
 2


x

P  t  s  t   1  
 2

2 
n

 Selang kepercayaan bagi  (n kecil) ;  tidak di
ketahui
Bila x dan s adalah rataan dan simpangan baku
contoh berukuran n < 30, yang diambil dari suatu
populasi normal yang ragamnya tidak diketahui, maka
selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi  diberikan
oleh rumus:
x  t
2
t
2
s
s
   x  t
n
n
2
adalah nilai t dengan v = n – 1 derajat bebas.
5
 Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah Populasi
- Rataan contoh pertama
: x1
- Rataan contoh kedua
: x2
- Beda rataan contoh
: x1 - x 2 merupakan
penduga titik parameter 1 - 2
- Ragam ( x1 - x 2 ) untuk contoh besar adalah
 12
n1

 22
n2
, galat baku (x1  x 2 ) 
 21
n1

 22
n2
- Jika n1 dan n2 keduanya besar

 12  22 

x1  x2 ~ N  1   2 ,

n1 n2 

x  x  1   2 
z 1 2
~ normal baku
 12
n1

 22
n2


P  z  z  z   1  
2 
 2
6
 Selang kepercayaan bagi
diketahui
1 - 2 ; 12 dan 22
Bila x1 dan x2 masing-masing adalah rataan contoh
acak berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi
dengan ragam 12 dan 22 yang diketahui, maka
selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi 1 - 2
x1  x2   z
2
 22
n1

 22
n2
 1   2  x1  x2   z
2
 22
n1

 22
n2
Rumus ini dapat jika kedua contoh berasal dari
populasi normal.
Rumus diatas berlaku juga untuk 12 dan 22 yang
tidak diketahui, asalkan n1 > = 30 dan n2 > = 30, 1
diganti dengan s1 dan 2 diganti dengan s2.
 Teladan selang kepercayaan beda dua nilai tengah
12 dan 22 tidak diketahui, contoh n1 dan n2 lebih
kecil (< 30), jika 12 = 22 = 2
2 diduga oleh:
2
2




n

1
S

n

1
S
1
2
2
S2  1
p
n1  n2  2
7
S12
S22
n1
n2
= ragam contoh pertama
= ragam contoh kedua
= ukuran contoh pertama
= ukuran contoh kedua
Diperoleh statistik:
T 
x1  x2   1   2 
1 1

n1 n2
Sp
yang menyebar menurut sebaran t dengan v = n1 +
n2-2 derajat yang bebas



P  t  T  t   1  
2 
 2
 Selang kepercayaan bagi 1 - 2 untuk contoh berukuran kecil; 12 = 22 , tetapi nilainya tidak diketahui
Bila x1 dan x2 masing-masing rataan contoh berukuran kecil n1 dan n2, yang diambil dari dua
populasi normal atau hampir normal dengan ragam
sama tetapi tidak diketahui nilainya, maka selang
kepercayaan (1 - ) 100% bagi 1 - 2
x1  x2   t  s p
2
1 1

1 1

 1   2  x1  x2   t s p

n1 n2
2
n1 n2
8
 Teladan selang kepercayaan beda dua nilai tengah
contoh kecil
Pendugaan Proporsi
Penduga titik bagi proporsi
Binom diberikan
P
dalam suatu sebaran
x
ˆ
P
n
x
n
p
= banyaknya keberhasilan
= banyaknya ulangan proporsi contoh
= nilai dugaan titik bagi parameter tersebut
Jika n cukup besar, sebaran bagi p̂ mendekati normal
pq
dengan nilai tengah p dan ragam n


P  z  z  z   1  
2 
 2
dalam hal ini
z
p̂ - p
pq
n
Substitusikan z ke persamaan diatasnya
9




ˆ
pp
P  z 
 z   1  


pq
2
2


n


Persamaan ini dijabarkan sehingga diperoleh

P pˆ  z 
2

pq
 p  pˆ  z 
n
2
pq 
  1
n 
 Selang kepercayaan bagi p untuk contoh berukuran
besar
Bila
p̂
adalah proporsi keberhasilan dalam suatu
contoh acak berukuran n, dan q̂ = 1 - p̂ ,maka selang
kepercayaan (1 - ) 100% bagi p adalah
Pˆ  z
2
pˆ qˆ
 p  pˆ  z
n
2
pq
n
 Teladan selang kepercayaan bagi p
10
 Pendugaan beda dua proporsi
x1
ˆ
p

Penduga titik bagi proporsi pertama 1 n
1
x
ˆ2  2
p
Penduga titik bagi proporsi kedua
n2
Beda proporsi contoh pˆ1  pˆ 2 adalah nilai dugaan titik
bagi p1 – p2
Bila n1 dan n2 cukup besar,
X1 kira-kira ~ N dengan nilai tengah n1p1 dan ragam
n1p1q1 atau
p̂1 kira-kira ~ N
p1q1
n1
dengan nilai tengah p1 dan ragam
X2 kira-kira ~ N dengan nilai tengah n2p2 dan ragam
n2p2q2 atau
p̂2 kira-kira
p2 q2
n2
~ N dengan nilai tengah p dan ragam
11
sehingga bedasarkan salah satu dalil, pˆ1  pˆ 2 kirakira ~ N dengan nilai tengah p1 – p2 dan ragam
p1q1 p2 q2

n1
n2
dalam hal ini
z
p̂1  p̂ 2    p1  p2 
p1q1 p2 q2

n1
n2
dengan membuat


P - z   z  z    1  
2 
 2
dan sisipkan nilai z pada persamaan ini diperoleh
selang kepercayaan bagi p1 – p2
 Selang kepercayaan bagi
berukuran besar
p1 – p2 untuk contoh
Bila pˆ1 dan pˆ 2 masing-masing adalah proporsi
keberhasilan dalam contoh acak berukuran n1 dan n2,
qˆ1  1  pˆ1 dan qˆ2  1  pˆ 2 , maka selang
serta
kepercayaan (1 - ) 100% bagi p1 – p2 adalah
 pˆ1  pˆ 2   z
2
pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ2

 p1  p2   pˆ1  pˆ 2   z
n1
n2
2
pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ2

n1
n2
 Teladan selang kepercayaan beda dua proporsi
12
Sebaran Khi Kuadrat
Merupakan
x
2

n  1s 2

sebaran
penarikan
contoh
dari
2
Yang berasal dari populasi normal dengan ragam 2
Dalil Statistik Khi Kuadrat
Bila s2 adalah ragam contoh acak berukuran n yang
ditarik dari suatu populasi normal dengan ragam 2
maka :
x
2

n  1s 2

2
merupakan sebuah nilai peubah acak x2 yang mempunyai sebaran khi-kuadrat dengan v = n – 1 derajat
bebas.
Sebaran khi-kuadrat tidak setangkup. Bentuk sebaran
bergantung pada derajat bebasnya.
Misalnya:
v=4
v=7
X2
13
Dua kurva khi-kuadrat untuk V = 4 dan V = 7
Peluang suatu nilai X2 mempunyai nilai tertentu, sama
dengan luas daerah dibawah kurva dikanan nilai

P x 2  x2



2
X2
Tabel A.5 mencantumkan nilai-nilai X2 untuk berbagai
nilai  dan  . (Tabel sebaran khi-kuadrat)
P x12-   x 2  x 2   1  
2 
 2
substitusi kan x 2 ,
 2

n  1s 2
2 
P x1-  

x
   1
2

2
2



akan diperoleh


2

n  1s 2 
 n  1s
2
P
 
 1
2
2

x1 
 x
2
2


14
 Selang kepercayaan bagi 2.
Bila s2 adalah ragam contoh acak berukuran n
yang ditarik dari suatu populasi normal, maka selang
kepercayaan (1 - ) 100% bagi 2 diberikan oleh
rumus
n  1s 2
x2
2


n

1
s
2 
x12 
2
2
x2/2 dan x21-/2 adalah nilai x2 dengan v = n – 1
derajat bebas yang luas daerah dikanannya

2
dan 1 -

2
 Penduga Rasio Dua Ragam
 12
Nilai dugaan titik bagi rasio dua ragam populasi  2
2
Diberikan oleh rasio ragam contohnya masing-masing
s12
s 22
 12
Jadi statistik
merupakan penduga bagi  2
2
sebaran penarikan contoh dari statistik
s12
s 22
15
 22 s12
P 2 2
 1 s2
; disebut sebaran F
Dalil Statistik F
Bila S12 dan S22 adalah ragam dua contoh acak
bebas berukuran n1 dan n2 yang ditarik dari populasi
normal dengan ragam 12 dan 22 , maka
s12 /  12 σ 22 s12
F 2 2  2 2
s2 /  2
σ1 s2
merupakan nilai bagi peubah acak F yang mempunyai sebaran F dengan v1 = n1 - 1 dan v2 = n2 - 1
derajat bebas.
Bentuk sebaran F tergantung derajat bebasnya,
misalnya
6 dan 24 derajat bebas
6 dan 10 derajat bebas
16
Sebaran F dan derajat bebas
Bentuk tipikalnya:


0
Misalkan f adalah nilai f yang disebelah kanannya
terdapat daerah seluas  (yang diarsir)
Tabel A.6 mencantumkan nilai-nilai f untuk  = 0,05
dan  = 0,01 untuk berbagai kombinasi derajat bebas
v1 dan v2 (Tabel sebaran F)
 Teladan :
v1 = 6 , v2 = 15 ,  = 0,05
f0,05(6,15) = 2,79
v1 = 6 , v2 = 15 ,  = 0,01
f0,01(6,15) = 4,32
Dalil.
Dengan menuliskan f (v1,v2) untuk f
dan v2 derajat bebas, maka
ƒ1- v1 ,v2  
dengan v1
1
ƒ  v2 ,v1 
17
 Teladan :
v1  6, v2  15,  0,05  f 0,95( 6,15) 
1
f 0,05( 6,15)

1
3,94
Peluang
P f1  v , v   F  f  v , v    1  
2 1 2 
 2 1 2
 22 s12
dengan mendistribusikan F dengan  2 s 2
1 2
akhirnya akan diperoleh
 2

1
 12 s12
 s1

P 2
 2  2 f  v , v    1  
 s2 f  v1 , v2   2 s2 2 2 1 
2


 12
 Selang kepercayaan bagi  2
2
Bila S12 dan S22 adalah ragam dua contoh bebas
berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi
normal, maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi
 12
 22 .
s12 1
 12 s12
 2  2 f  v2 ,v1 
2
s2 f  v1 ,v2   2 s2 2
2
18
f  v1 ,v2 
adalah nilai ƒ dengan v1 = n1 – 1 dan v2 =
N2 – 1 derajat bebas
f  v2 ,v1 
adalah nilai ƒ dengan v2 = n2 – 1 dan v1 =
n1 – 1 derajat bebas
2
2
 Teladan :
Tugas/ Latihan
1.
Dari sebuah populasi dengan N = 10.000,  = 124,
dan  = 18, hitunglah Z untuk nilai-nilai berikut ini.
Tentukan nilai n = 36
a.
c.
x  128,60
x  166,88
b.
d.
x  119,30
x  132,05
2.
Dari sebuah populasi dengan  = 80, dan  = 14
diambil sampel dengan ukuran n = 49. Hitunglah
peluang berikut ini (asumsi n / N ≤ 0,05)
a. P(81,4 ≤ X ≤ 83,6)
b. ( X ≥ 82,3)
3.
Menurut Badan Pusat Statistik di suatu negara,
rata-rata upah mingguan pekerja adalah $ 455
pada tahun 1991. Misalkan upah mingguan untuk
19
semua pekerja di negara tersebut pada tahun 1991
menyebar (berdistribusi) normal dengan simpangan
baku $ 60. Carilah peluang rataan dari contoh yang
berukuran n = 25 pekerja yang diambil dari populasi
tersebut akan berada:
a. Antara $ 469 dan $ 480
b. Dalam jarak $ 15 dari rata-rata populasi
c. Dalam jarak $ 20 atau lebih dibawah rata-rata
populasi
4.
Dari data suatu contoh acak diperoleh
S = 5,3
X
= 16 dan
a. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk 
bila n = 50
b. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk 
bila n = 50
c. Bandingkan hasil antara (a) dan (b)
d. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk 
bila n = 100
e. Bandingkan hasil antara (a) dan (d)
5.
Sebuah populasi mempunyai simpangan baku 2,45
sebuah contoh acak dengan ukuran 35 diambil dari
populasi tersebut. Data selengkapnya adalah
sebagai berikut:
42 51 23
31 28 36
49
29 46 37
32 27 33
41
44 41 28
38 34 39
48
26 35 37
46 46 48
37
29 31 44
41 37 38
46
20
a. Berapakah penduga titik untuk ?
b. Tentukan selang kepercayaan 97% untuk 
c. Berapakah galat maksimum pada (b)
6.
Sebuah perusahaan komputer menjual komputer
dan komponennya lewat pos. Perusahaan tersebut
menjamin bahwa pengiriman akan dilakukan
secepatnya setelah pesanan diterima. Sebuah
contoh acak yang terdiri dari 50 pesanan memperlihatkan, rata-rata waktu pengiriman adalah 70 jam
dengan simpangan baku 14 jam. Tentukan selang
kepercayaan 95% untuk menduga rata-rata waktu
yang diperlukan
untuk mengirim pesanan ke
pelanggannya.
7.
Seorang manajer bank ingin mengetahui rata-rata
dari jumlah gadaian yang dibayar oleh rata-rata
penggadainya dalam satu bulan di suatu daerah.
Sebuah contoh acak yang terdiri dari 40 rumah
tangga yang menggadaikan menghasilkan informasi rata-rata $ 1.350 dengan simpangan baku $
215. Tentukan selang kepercayaan 97% untuk
menduga rata-rata jumlah gadaian yang terbayar
perbulan oleh penggadainya.
8.
Carilah nilai t untuk dari beberapa kasus di bawah
ini.
a. Daerah di sisi sebelah kanan = 0,05 dan derajat
bebas 13
b. Daerah di sisi sebelah kiri = 0,25 dan derajat
bebas 22
21
c. Daerah di sisi sebelah kiri = 0,01 dan derajat
bebas 17
d. Daerah di sisi sebelah kanan= 0,005 dan derajat
bebas 26
9.
Dibawah ini adalah sebuah contoh acak dengan 12
pengamatan diambil dari populasi yg berdistribusi
normal
13
14
15
9
9
10
11
14
8
16
16
12
a. Berapakah dengan titik terhadap  ?
b. Tentukan selang kepercayaan 99% untuk  ?
c. Berapakah galat maksimum pada butir b ?
10. Sebuah pabrik sarung tangan ingin menduga
jumlah sarung tangan yang bisa dibuat oleh satu
jenis mesin tertentu dalam tiap jam. Manajer pabrik
tersebut memilih secara acak 20 mesin dan ditemukan rata-rata produksi perjam adalah 47
dengan simpangan baku 2,4. Misalkan distribusi
produk yang dihasilkan oleh mesin-mesin tersebut
untuk tiap jamnya berdistribusi normal. Tentukanlah
selang kepercayaan 90% untuk menduga rata-rata
produksi sarung tangan per jam dari semua mesin
di perusahaan tersebut.
11. Sebuah perusahaan ingin menduga berat bersih
dari cereal yang diproduksinya (dalam kemasan
kertas). Sebuah contoh acak terdiri dari 16
kemasan cereal diambil dari populasi tersebut dan
didapatkan informasi bahwa rata-ratanya adalah
22
31,98 ons dengan simpangan baku 2,4 ons.
Tentukan selang kepercayaan 95% untuk menduga
rata-rata berat bersih kemasan cereal yang
sebenarnya dari perusahaan tersebut.
12. Dalam kasus-kasus dibawah ini, yang manakah yg
bisa menggunakan sebaran normal dalam membuat sebaran contoh proposisi contoh?
a. n = 400 dan p = 0,28 b. n = 80 dan p = 0,25
c. n = 350 dan p = 0,01 d. n = 100 dan p = 0,022
13. Sebuah contoh acak yang diambil dari populasi
menghasilkan proporsi contoh 0,72
a. Tentukanlah selang kepercayaan 99% untuk
proporsi populasi jika n = 100
b. Pertanyaan sama dengan a untuk n = 600
14. Perusahaan membuka dua supermarket di dua
tempat yang berbeda. Pihak manajemen perusahaan tersebut ingin mengetahui apakah rata-rata
penjualan perhari dari dua supermarket tersebut
berbeda. Sebuah contoh diambil dari supermarket
pertama selama 35 hari dan menghasilkan rata-rata
penjualan perhari sebesar $53,70 dengan
simpangan baku $ 2,90. Pada supermarket kedua
diamati selama 30 hari dan menghasilkan rata-rata
penjualan perhari $ 58,5 dengan simpangan $ 3,10.
a. Tentukan penduga titik dari 1 - 2
b. Tentukan selang kepercayaan 99% untuk 1- 2
23
15. Informasi berikut ini diperoleh dari dua contoh acak
bebas dari dua populasi normal dengan simpangan
baku tidak diketahui tetapi diasumsikan cuma
besarannya.
Contoh: 22 32 25 33 21 35 30 26 25 31 33 30
Contoh: 24 28 22 25 24 22 29 26 25 29 19
a. Berapakah penduga titik dari 1 - 2
b. Tentukan selang kepercayaan 98% untuk 1 - 2
16. Sebuah perusahaan mengirim 7 karyawan untuk
mengikuti kursus dalam membangun rasa percaya
dirinya. Para karyawan tersebut dievaluasi sebelum
dan sesudah mengikuti kursus tersebut. Tabel
berikut ini (berisi skor skala 1 sampai 15) membuat
nilai para karyawan sebelum dan sesudah mengikuti kursus
Sebelum
Sesudah
8
10
5
7
4
5
9
11
6
6
8
7
5
9
Tentukan selang kepercayaan 95% untuk menduga
d dari beda pasangan populasi para karyawan
sebelum dan sesudah mengikuti kursus membangun rasa percaya diri.
17. Sebuah sampel terdiri dari 500 pengamatan diambil
dari populasi pertama dan diperoleh X1 = 310.
Sebuah sampel (contoh) terdiri dari 600 pengamatan yang diambil dari populasi kedua dan
didapatkan X2 = 348
24
a. Tentukan penduga titik P1 - P2
b. Tentukan selang kepercayaan 97% untuk P1–P2
18. Sebuah sampel (contoh) dari suatu pengamatan
tertentu diambil dari suatu populasi yang berdistribusi normal dan menghasilkan varians (ragam)
contoh 99% untuk menduga 2 untuk setiap kasus
dibawah ini.
Apakah kesimpulan anda ketika ukuran sampel
berubah?
a. n = 12,
b. n = 16,
c. 25
19. Sebuah sampel terdiri dari 25 pengamatan diambil
dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dan
menghasilkan varians sampel 47. Tentukan selang
kepercayaan 99% untuk 2 untuk tiap kasus dibawah ini. Apa kesimpulan anda ketika tingkat
kepercayaan berubah.
a. 1-  = 0,99
b. 1- = 0,95
c. 1- = 0,90
25

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download