Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
METODE PENDUGAAN TITIK
Pertemuan 6
1. Metode Momen
2. Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum.
Bina Nusantara University
2
1. Metode Momen
Definisi 1.
Misalkan X1,…,Xn adalah contoh acak dari populasi
dengan fungsi massa / kepekatan peluang f(x), moment
populasi ke k atau momen ke k sebaran f(x) adalah E(xk)
untuk k = 1, 2, 3,… Momen
ke k adalah:
 1  n contoh
k
   Xi
 n  i 1
Definisi 2.
Misalkan X1, X2, …., Xn merupakan contoh acak dari
sebaran dengan fungsi massa/kepekatan peluang f(x; 1,
…., m), dimana 1, …., 2 adalah parameter yang
nilainya θˆ1tidak
,, θˆ m diketahui, maka momen penduga
diperoleh dengan menyamakan momen contoh pertama
m dengan momen populasi pertama m dan diselesaikan
3
untuk 1, …., n
Bina Nusantara University
Contoh : Bila m = 2, maka E(X) dan E(X2) menjadi fungsi
dari 1 dan n.1
1
EX    Xi  X dan E X 2     Xi 2
n
n
Menghasilkan dua persamaan dalam 1 dan 2. Hasil
penyelesaiannya merupakan penduga.
 
Contoh 5.1.
Ambil X1,X2,…,Xn menyatakan contoh acak waktu
pelayanan n pelanggan pada fasilitas tertentu, dimana
sebaran diasumsikan eksponensial dengan parameter .
Karena hanya satu parameter Eyang
X   Xdiduga, penduga
diperoleh dengan menyamakan λˆ  1 X
dan
karena
E(x)λ=1/
1/λ  Xmaka
1 Xuntuk sebaran eksponensial,
atau
. Momen penduga  adalah
.
Bina Nusantara University
4
Contoh 5.2.
Ambil X1,X2,…,Xn sebagai contoh acak dari sebaran
gamma dengan parameter  dan .
E(x) =  dan E(x2) = 2 (+2) / ()
= 2 ( + 1) 
Penduga momen dari  dan  diperoleh dengan
menyelesaikan persamaan
1
2
2
 X i  αα  1 β
4
Hasilnya :
X  αβ,
α
X2
1
2
2
   Xi - X
 4
Bina Nusantara University
1
2
2
   Xi - X
4
,β   
X
5
Contoh 5.3.
Ambil X1,…,Xn sebagai contoh acak dari sebaran binomial
dengan parameter r dan r dan p.
E(x) = r(1 - p)/p dan
Var(x) = r(1 - p)/p2 ,
E(x2) = var(x) + [E(x)]2
= r(1 - p) (r – rp + 1)/p
Dengan menyamakan:
EX   X dan
1
n
 Xi
2
Hasilnya
ˆ
P
X
1
2
2

X
 
i -X
n
Bina Nusantara University
, rˆ 
X2
1
2
2

X
 
i -X -X
n
6
2. Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum.
Definisi:
Misalkan
X1,
X2,
….,
Xn
mempunyai
fungsi
massa/kepekatan peluang gabungan f(X1, X2, …., Xn; 1,
…, m) dengan nilai 1, …, m tidak diketahui. Bila X1, X2,
…., Xn adalah nilai pengamatan contoh dianggap fungsi
dari 1, …, m disebut fugsi
kemungkinan
(Likelihood
θˆ1, 
,~
θm
Function).
Dugaan
kemungkinan
maksimum
adalah nilai I yang
memaksimumkan
fungsi kemungkinan
ˆ
ˆ



f x1, , x n ; θ1, , θ m  f x1, , x n ; θ1, , θ m 
sehingga:
untuk semua nilai 1, …, m. Bila Xi disubstitusikan ke xi
menghasilkan penduga kemungkinan maksimum.
Bina Nusantara University
7
Contoh 5.4.
Misalkan X1, X2,…, Xn adalah contoh acak dari sebaran
eksponensial dengan parameter . Karena bebas, fungsi
kemungkinan adalah hasil kali masing-masing fungsi kepekatan
f X ,  , X ; λ   λe- λX1  λe- λXn  λ n e - λ  Xi
1
n
 

n f X1 ,  , X n ; λ   n lnλ  - λ  X i

Turunkan terhadap λ menjadi :
n λ -  Xi  0  λ 
 Xi
n
, sehingga λˆ  1
X
Contoh 5.5
Ambil X1, X2,…, Xn sebagai contoh acak dari sebaran normal.
Fungsi kemungkinan:
2
2
n 2
 1


 1
f X1 ,  , X n ; μ, σ 2  
 2ππ 2
n
2
Bina Nusantara Universityn f X1 ,  , X n ; μ, σ
2





e

-

2

σ
ln 2ππ 2 -
   Xi - μ 

1
2σ 2

X i
- μ 2
8
Memaksimumkan fungsi kemungkinan diperoleh hasil
μˆ  X , σˆ 2 

Xi - μ  2
n
Contoh 5.6
Misalkan X1, …., Xn sebagai contoh acak daris ebaran Weibull.
α

-  X 

α -1  β 
e
,
f X; α, β    α β αX
0
,

X0
X lainnya
Hasil pendugaan maksimum :
  X i . ln X  n X i 
α

α
n
  X i

α
  Xi
β
 n

Bina Nusantara University
α




1
-1
α
9

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download