応用物理演習問題１ (2010) 解答 2010/11/25 1. 200 kg の物体を 1 m だけ静かに落下させることによって得られるエネルギーで断熱してある温度 20 ℃の水 1kg をかき混ぜたところ，水が静止した状態後に温度を測定したら 0.47 ℃上昇した。これより熱の仕事当量を求めなさい。ただし，水の比熱を 1.0 cal/g·K として計算しなさい。【解】物体の位置エネルギー E は E = mgh = 200 × 9.8 × 1 = 1960 J 一方、1kg の水が 0.47 ℃上昇させるのに必要な熱量 Q は Q = 1.0 × 0.47 × 1000 = 470 [cal] したがって熱の仕事当量は E 1960 = = 4.17 [J/cal] Q 470 2. ある銀のかたまり 525g に 2.46 ｋＪの熱を加えたら 20..0K だけ温度が上昇した。銀の比熱を求めなさい。【解】 C= 2460 = 234 J/kg · K 0.525 · 20 3. 容積 5 m3 の変形しない断熱容器に圧力 20kPa，温度 27 ℃の窒素（分子量 28）が入っている。以下の問に答えなさい。ただし窒素を理想気体とみなし，定積モル比熱 CV を 20.34 J/mol·K，気体定数 R = 8.314 J/mol·K として計算しなさい。 (1) この容器内の窒素の重さとモル数を求めなさい。【解】pV = nRT より、モル数 n は n= pV 20 × 103 × 5 = = 40.1 mol RT 8.314 × 300 窒素の重さ M は、 M = n × 28[g] = 1.123 [kg] (2) 窒素に 50 kJ の熱を加えたときの温度を求めなさい。【解】熱力学の第一法則より dU = dQ − pdV 、容積が変化しない（dV = 0）ので dU = dQ が成り立つ。すなわち加えた熱量は内部エネルギーの増加になる。 dU = nCV dT = dQ = 50 × 103 より dT = dQ 50 × 103 = = 61.3 (K) nCV 40.1 × 20.34 したがって温度 T は T = 300 + dT = 361.3(K) = 88.3 ℃ (3) 前問と同じ条件での窒素の圧力を求めなさい。【解】pV = nRT より p= nRT 40.1 × 8.314 × 361.3 = = 24.1 (kPa) V 5 4. 圧力 1.2 MPa，温度 180 ℃の窒素 2 kg を等温膨張したところ，圧力が 0.12 MPa になった。以下の問に答えなさい。ただし窒素を理想気体とみなし，分子量を 28 として計算しなさい。 (1) 窒素分子のモル数を求めなさい。【解】n = 2000/28 = 71.4 (mol) (2) 空気中の窒素分子の速度の平均二乗根 −27 1.66×10 √ v¯2 を求めなさい。ただし、原子質量単位を kg とする。【解】エネルギー等分配則 12 mv¯2 = 23 kT （並進運動の自由度 3 だけを考慮する）より √ √ √ 3kT 3 · 1.38 × 10−23 · (273 + 180) ¯ 2 v = = = 560.7 (m/s) m 28 · 1.66 × 10−27 (3) 等温膨張前後の空気の体積を求めなさい。【解】pV = nRT より膨張前後の体積 V1 , V2 は V1 = 71.44 · 8.314 · (273 + 180) = 0.224 (m3 ) 1.2 × 106 71.44 · 8.314 · (273 + 180) = 2.24 (m3 ) 0.12 × 106 (4) 膨張の際に気体がする仕事量を求めなさい。 V2 = 【解】外部にする仕事を W とする。pV = nRT より ∫ V2 ∫ V2 dV V2 pdV = nRT = nRT ln W = V V1 V1 V1 2.24 = 71.4 · 8.314 · (273 + 180) ln = 619 kJ 0.224 5. １原子分子 1 モルの理想気体について以下の問に答えなさい。 (1) この気体 1 モルの内部エネルギーをエネルギー等分配則から議論して U = 32 RT となることを示しなさい。さらに，気体の定積モル比熱 Cv も求めなさい。【解】1 自由度当たり 12 kT のエネルギーが分配される。１原子分子の自由度は３であるから 1 3 kT × 3 × NA = RT (∵ R = k · NA ) 2 2 3 dU = R Cv = dT 2 (2) この気体の定圧モル比熱 Cp は Cp = Cv + R とあらわされることを示し,Cp を求めめなさい。 U= 【解】エンタルピー H = U + pV で等圧変化（定圧変化）では dH = dU +pdV +V dP = dU + pdV = dQ となり、熱量の変化 dQ はエンタルピー変化 dH に等しい。したがって ( ) ( ) ( ) ∂Q ∂H V dU R Cp = = = +p = Cv + p · = Cv + R ∂T P ∂T P dT T P p Cp = 3 5 R+R= R 2 2 (3) この気体を 1 気圧のもとで温度が 100 ℃上昇させるのに必要な熱量 [cal] を求めなさい。 Q = Cp ∆T = 5 R · ∆T = 2.5 × 8.314 × 100 ÷ 4.186 = 497 cal 2 6. １モルのファン・デル・ワールスの状態方程式の温度をパラメータとした p-V グラフを描きなさい。 ( a ) p + 2 (V − b) = RT V 【解】教科書参照のこと 7. １モルのファン・デル・ワールスの状態方程式の変曲点（臨界点）C における VC , TC を a, b, R を用いて表しなさい。【解】ファン・デル・ワールスの状態方程式を p= RT a − 2 V −b V と変形して ( ) ∂p RTC 2a =− + 3 =0 2 ∂V TC (VC − B) VC ( ∂2p ∂V 2 ) = TC 2RTC 6a − 4 =0 (VC − b)3 VC の条件から VC = 3b , となる。 TC = 8a 27bR