SEBARAN NORMAL
GANDA
(The Bivariate Normal
Distribution)
1
-q/2
e
; -~ < x < ~,
2xσ σ 1 - 
Dengan x > 0 ; y > 0 dan –1 <  <1
f(x,y) =
2
x
q=
y
1  x   x

2
1-     x



2
 x   x  y   y   y   y 



 2  




  x   y    y 
2




Sifat-sifat :
a. f(x,y) merupakan fkp bersama
b. x ~ N (x, x2) dan y ~ N(Y, Y2)
c.  adalah koefisien korelasi X dan Y
Maka f(x,y) merupakan fkp normal
ganda
fl(x) =  f(x,y) dy
~
~
2
(1- )q
2
 y  μ y  2
 x  μx  
=  σ     σ   _(1-2)
 x  
 y 
=
 y -b


 σ 
 y 
2
2
+
 x -μ 
2  x
(1- )  σ 
 x 
Dengan b =y+ 
 fl(x) =
e
 x - μx 


σ
 x 
2
1 x x
 
2   x
x
2
 σy

σ
 x






 (x

2
-

~
-~
e
- x)
 y - b 2
2  2y  1   2 


y 1 2
dy
2
*)
*) fkp sebaran normal dengan rata-rata
b dan ragam (1-2) y2 atau
y ~ N(b, (1-2) y2)
fl(x) =
e

1
2
2x
x
x   x 2
; -~ < x < ~
2
~
~
~
-~
~
-~
 
f(x,y) dx dy =  fl(x) dx = 1
fl(x) merupakan fkp marginal bagi
X ~ N (x,x2) dengan cara yang sama
diperoleh f2(y)  Y ~ N (y, y2)
Dari bentuk diatas dapat dibentuk
f(y/x)
f(y/x) =
f x, y 
fl x 
 f(x/y) =
f x, y 
f 2 y 
atau
f(x,y) = fl(x) f(y/Y)
= fl(x)


1

2
 y 1  

dengan b = y + 
 σy

 σx



-
2
e
 y-b 2
2  1p 2 
2 y









(x-x)
f(y/x) merupakan fkp bersyarat bagi Y
dengan X = x dan menyebar normal
dengan rata-rata dan ragam masingmasing :
(y/x) = E(y/x) = y +    y  (x-x)

dan  
2
y x

  y2 1   2


 x 


Dengan cara yang sama dapat
ditentukan f(x/y) yang merupakan fkp
bersyarat bagi X dengan Y = y given
dan
(x/y) = E ( /y) = x + 
X
 σx

σ
 y




(y - y)
2(X/y) = 2x (1-2)
Fungsi pembangkit momen
bivariate normal
M(t1 t2) =   e f(x,y) dx dy
untuk
~ ~ t xt y
1
2
-~ ~
=

~
-~
~

e f1( x )  et 2 y f y x  dy  dx
 - ~

t 1x
untuk semua t1, t2  R
M(t1
t )= E e
2
t 1x  t 2 y

f(y/x) merupakan fkp normal dengan
rata-rata μ   σ x  μ  dan ragam σ  1  
2
y
y
σx
2
y
x
maka
 e
~
~
t2y
f(y/x) dy 
e




t 2  y  





t 22y  12 


t 2 y  t 2  x 
x
2
2 2
2 
y
 t 2  y  1   



x   x  

x

2


y
M(t1t2)= e
kita tahu bahwa
 e
~
~




 t t  y
1 2 
x





2
f (x) dx
1
1
2
 x t  t 2  2x
E(etx) = e
;  t R
dengan mengganti t = t1 + t2   σσ


 x
y
diperoleh








y
2  x 1  2 
2 t  t 
t




  x 1 2 

y 

y
y

x
2
t   t  x 
   t  t   
2 y 2 
x 1 2  
2
2
x
x

M(t1t2) = e







2
 x2 t 2  2   t t   2 t 2
1
x y12
y 2
 t  t 
x1
y 2
2
M(t1t2) = e
Jika  = 0  M(t1t2) = M(t1,0) M(0,t2)
X dan Y bebas stokhastik jika =0
M(t1t2) =M(t1,0)M(0,t2)
Dalil
Misalkan X dan Y menyebar normal
ganda dengan rata-rata 1 dan 2
variansi (ragam) 12 dan 22 serta
koefisien korelasi 
Maka X dan Y bebas stokhastik jika
dan hanya jika  = 0
X & Y bebas stokhastik   = 0

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download