SEBARAN NORMAL
Jika kita perhatikan bentuk integral
sebagai berikut :
~
I =  ~e
y
2
2
dy
maka integral tersebut ada karena
yang di integralkan merupakan fungsi
kontinu positif
0<e
y
2
<e
2
~

dan
 y 1
e
, -~ < y < ~
 y 1
~
dy  2 e
Untuk mengamati integral I > 0 dan I2
dapat ditulis
~
~
I2 =  ~  ~e

y2  z2
2
dy dz
Dengan
menggunakan
koordinat
polar, yaitu y = r Cos  dan Z = r sin 
diperoleh
2
~
I2 = 0 0
e

r2
2
r dr d
2
= 0 d  2  I 
2
dan
~
2
I
= -~
1
e
2

y2
2
dy  1
Transformasi y =
diatas menjadi
1
~ b 2
~
x-a
b
; b > o, integral
e   dx  1; b  0

1 x a 2
2
b
maka
1
b 2

 x  a 2
2b2
,  ~  x ~
f(x) =
merupakan fkp bagi sebaran normal
dengan rata-rata a dan variansi (ragam) b2
e
Fungsi Pembangkit Momen
Sebaran Normal
M(t)
~
= E (e ) = -~
tx
1
~
-~
=  b 2π
M(t) = e

a 2 - a  b 2t

2b 2
e tx

1
b 2
e
 x a 2
2b 2
2
2
2
 2b tx  x 22ax a
2b
e
dx
2

~
~
1
b 2
e
2
x a  b 2t 


2
2b
dx
fkp x ~ N (a + b2t, b2)
M(t) =
e
b2 t 2
at 
2
Rata-rata  dan variasi (ragam) 2
ditentukan melalui M(t) sebagai berikut :
Ml(t) = M(t) . (a + b2t)
Mll(t) = b2 M(t) + (a+b2t)2 M(t)
sehingga untuk t = 0 diperoleh ratarata :
 = Ml(0) = a dan 2 = Mll(0) - 2
2 = b2+a2-a2 = b2
dengan demikian fkp bagi x ~ N(, 2)
dapat ditulis sebagai berikut :
f(x) = 
dan
M(t)= e
1
e
2
t 

1 2 2
 t
2
 x   2
2 2
;  ~ x ~
 Fungsi pembangkit
momen
sebaran
normal
Sifat-sifat f(x) :
 Simetris Terhadap X = 
 Nilai maksimumnya σ 12π pada X=
 Berasimptotkan sumbu datar x
Sebaran Normal Baku
Dalil
Jika peubah acak X ~ N (,2) ; 2 >0
maka peubah acak W = Xσ- μ ~ N(0,1)
Bukti
Fungsi sebaran W adalah G(w)
G(w) = Pr (W  w)
= Pr
 x -μ  w


 σ

w
= -~
1
b 2
= Pr (Xw+)
e
1  x - 
 

2 b 
2
Transformasi :
y = x σ μ  x = y  + 
w
G(w) = 
-~
1
2
e
y
2
2
dy
dx
fkp bagi W adalah g(w) = Gi(w)=  G ww 
l
G (w) = w
 g(w) =
1
l
e
2
1
2
e
-w
-w
2
2
2
2
-0+0
 W ~ N (0,1)
X ~ N (,2)  Pr (C1 < X < C2)
= Pr (X<C2) – Pr (X<C1)
=
 x  μ C2  μ 
Pr  σ  σ 
C2 

= -~
1
2
e
2
w
-
 x  μ C1  μ 
Pr  σ  σ 


C1  

2
1

dw -
2
~
e

w2
2
dw
Jadi untuk x ~ N (,2) dapat dilakukan transformasi w = x σ μ ~ N (0,1)
dan untuk pemecahan permasalahan
digunakan N(0,1) dengan pertolongan
tabel normal baku
x
N(x) = 
-~
1
2
e

w2
2
dw
 Pr (C1<x<C2) = N
 C2  μ 


 σ 
-N
 C1  μ 


 σ 
dengan N (-x) = 1 - N (x)
Contoh :
X ~ N(2,25)
Pr(0<x<10) = N
 10  2 


 5 
-N
0  2


 5 
= N (1.6) - N (-0.4)
= 0,945 - (1-0.655)
= 0.600
Pr(-8<x<1) = N  15 2  - N  - 85 2 
= N (-2.2) - N (-2)
= (1-0.579) - (1- 0.977)
= 0.398
Contoh :
X ~ N(,2)  Pr (x60) = 0.10
Pr (x90) = 0.95
Tentukan  dan 2
N=
 60  μ 


 σ 
= 0.10 dan N
 90  μ 


 σ 
= 0.95
dengan tabel normal baku diperoleh
60  μ
90  μ
=
-1.282
;
= 1.645
σ
σ
sehingga  = 73.1 dan  = 10.2
Dalil
Jika x ~ N(,2) , 2 > 0
2
 x μ

maka V =   ~ 1
2
 σ 
Bukti
Karena V = W2  W =
 x μ


 σ 
~ N(0.1)
maka fungsi sebaran bagi V adalah
G(v) = Pr (W2v) = Pr  v  W 
v
=2
2
w
1
e 2 dw
2
G(v) = 0 untuk v < 0
Dengan transpormasi w =
v
;v0
y,
maka

v
G(v) = -~
1
2 2
e
y
2
dy
;v0
fkp bagi v adalah g(v) = Gl(v)
1
1 e ; 0<v<~
Gl(v) = vlf(v)–0–0 = 2π
v
-
 g(v) =
1
 2
v
1 1
2
e
-
v
2
v
2
; 0< v< ~
= 0 untuk selainnya
2
1

  2     V ~ 1  r = 1(derajat
bebas)
Dalil
Mis X1X2…Xn sampel acak berukuran
n dari populasi yang menyebar normal
dengan rata-rata  dan ragam
(varians) 2 maka rata-rata untuk x
adalah  dengan ragamnya adalah σn
Bukti
2
n
X=
x
i 1
n
 X maka fpm bagi s
i
n
jika s =
i
i 1
adalah
n
Ms(t) = E[ets] = e
t2
t
i
2
i 1

t2 2
t n n
2
= e
ingat M ns (t) = Ms  nt 
 M ns (t)=
atau
e
t2
t 
2
 2 

X ~ N  ,
n 








n






2
n
 i2
i 1

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download