Sebaran Binomial Trinomial dan Multinomial Sebaran Binomial Dalam aljabar, untuk n yang merupakan bilangan bulat positif sedemikian sehingga ( a b) x 0 n n n x x n x a b . Berdasarkan ketentuan di atas, untuk fungsi berikut ini n x p( x) p (1 p) n x ,.....untuk...x 0,1,2,3.......n, x ........... 0.....untuk , , , selainnya di mana n adalah bilangan bulat positif dan 0 < p < 1. Atas dasar ketentuan di atas jelas bahwa p(x)>0, dan n x n x p ( x ) p ( 1 p ) x 0 x 0 x ........... [(1 p ) p ]n 1. n n maka p(x) merupakan fungsi probabilitas untuk peubah acak diskrit X. Peubah acak X tersebut dengan fungsi probabilitas p(x) seperti diatas dikatakan menyebar secara binomial dengan probabilitas p. Sebaran binomial dapat dinotasikan dengan simbol b(n , p). Contoh : Untuk konstanta n dan p sebagai parameter dari sebaran binomial, jika X menyebar binomial b(5,1/3), maka fungsi probabilitasnya dapat ditulis sebagai berikut 5 x 5 x p( x) ,.....untuk...x 0,1,2,3,4,5, p (1 p ) x ........... 0.....untuk , , , selainnya Fungsi pembangkit momen sebaran binomial adalah untuk n n x n n x M (t ) E[e ] e p (1 p) ( pe t ) x (1 p ) n x x x 0 x 0 x [(1 p ) pe t ] n ;......untuk t 0 n tx tx Rata-rata dan ragam (variansi) dari peubah acak X yang menyebar binomial dapat diperoleh melalui fungsi pembangkit momen dengan cara menurunkannya terhadap t dan selanjutnya diambil nilai t = 0. Berikut ini diberikan cara untuk mendapatkan rata-rata dan ragam x dengan menggunakan fungsi pembangkit momen M ' (t ) [(1 p) pe t ]n1 pe t dan M " (t ) n[(1 p) pe t ]n1 pe t n(n 1)[(1 p) pe t ]n2 ( pe t ) 2 Untuk t = 0 dapat diperoleh ratarata x = np dan ragamnya adalah 2 = M”(0)np + n(n-1)p2–(np)2=np(1-p). Contoh : Sebaran binomial dengan sebaran sebagai berikut fungsi 7 1 x 1 p( x) ( ) (1 ) 7 x ,.....untuk...x 0,1,2,3,4,5,6,7 2 x 2 ........... 0.....untuk, , , selainnya Fungsi pembangkit momennya adalah M(t) = (½ + ½ et)7 Rata-rata : x = np = 7/2 = 3.5 Ragamnya : 2 = np(1-p) = 7/4 = 1.75 1 P(0 X 1) = p(x) = 1/128 + x=o 7/128 = 8/128 P(x=5) = p(5) = 7! (5! 2!)-1 (1/2)5 (1/2)2 = 21/128 Contoh : Fungsi pembangkit momen peubah acak X adalah M(t) = (2/3 + 1/3 et)5 untuk Maka X menyebar binomial dengan n= 5 dan p = 1/3, fungsi probabilitasnya adalah 5 1 x 2 5 x p( x) ( ) ( ) ,.....untuk...x 0,1,2,3,4,5. 3 x 3 ........... 0.....untuk , , , selainnya Rata-rata : Ragamnya : = np = 5/3 2 = np(1-p) = 10/9 Sebaran Trinomial Sebaran binomial dapat diperluas menjadi sebaran trinomial, jika n bilangan bulat positif dan a1, a2, a3 merupakan konstanta tertentu, sehingga n n x x 0 y 0 n x 0 n x 0 n! x!. y!( n x y )! n!a1x n x x!.(n x )! y 0 a1x a 2y a3n x y ( n x)! a 2y a 3n x y y!.(n x y )! n! a1x ( a1 a 2 ) n x x!.(n x )! ( a1 a 2 a 3 ) n Fungsi probabilitas bersama untuk peubah acak X dan Y yang menyebar secara trinomial adalah p ( x, y ) n! x! y!( n x y )! 0 p1x p2y p3n x y untuk x y n p1 p2 p3 1 untuk selainnya Untuk menunjukkan p(x,y) sebagai fungsi probabilitas dapat digunakan ketentuan di atas sehingga n n x y x 0 p ( x, y ) y 0 n x y n x 0 y 0 n! x! y !( n x y )! p1x p 2y p 3n x y ( p1 p 2 p 3 ) n 1 Fungsi pembangkit momen sebaran trinomial adalah n n x M (t1 , t 2 ) x 0 y 0 n! x! y!( n x y )! untuk ( p1e t1 ) x ( p 2 e t2 ) y p3n x y ( p1e t1 p 2 e t2 p3 ) n untuk semua nilai t1 dan t 2 Fungsi pembangkit momen untuk sebaran marginal X dan Y adalah M (t1 ,0) ( p1e t1 p2 p3 ) n [(1 p1 ) p1e t1 ]n dan M (0, t 2 ) ( p1 p 2 e t2 p3 ) n [(1 p 2 ) p 2 e t2 ]n . Jika X dan Y bebas stokhastik, maka untuk X b(n,p1) dan Y b(n,p2) rata-rata dan ragam untuk X dan Y adalah x = np1; y = np2 2x = np1(1-p1); 2y = np2(1-p2) Berikutnya fungsi probabilitas dari Y dengan syarat diketahui bahwa X = x adalah (n x)! p 2 p( y / x) y!.(n x y )! 1 p1 ............. ..0....untuk..selainnya y p3 1 p1 n x y untuk..... y 0,1,2,..., (n x) Rata-rata bersyarat untuk Y, jika X=x adalah p1 E (Y / x) (n x) 1 p1 dan p E ( X / y) (n y) 2 1 p2 Sebaran Multinomial Sebaran binomial dan juga trinomial dapat diperluas menjadi sebaran multinomial dengan fungsi probabilitas bersama sebagai berikut : p( x1 , x 2 ,..., x k ) n! p x1 p 2x 2 p3x 3 ,..., x 1 !x 2 !,..., x n ! 1 p kx k dim ana x k n ( x1 x 2 ... x k 1 ); p k 1 (p1 p 2 ... p k 1 dan ( x1 x 2 ... x k 1 ) n p( x1 , x 2 ,..., x k ) 0 untuk selainnya Fungsi pembangkit momen sebaran multinomial adalah M (t1 , t 2 ,..., t k 1 ) untuk untuk ( p1e t1 p 2 e t2 ..., p k 1e tk 1 p k ) n semua nilai riil t1 , t 2 dan t k 1 Sebaran Poisson Bila peubah acak diskrit X menyebar poisson dengan parameter m, maka fungsi probabilitasnya dapat ditulis sebagai berikut m x e m p( x) x! x 0,1,2,3,................. ........ 0....untuk..selainnya Untuk menunjukkan bahwa p(x) adalah fungsi probabilitas, kita dapat menggunakan deret sebagai berikut m2 m2 1 m ............ 2! 3! sehingga p( x) x 0 x 0 m x e m m e x! x 0 x 0 mx em x! mx e m e m 1 x! Fungsi pembangkit momen untuk sebaran poisson dapat ditulis sebagai berikut M (t ) x 0 t t m x e m (met ) x m e e e m e me e m( e 1) x! x! x 0 tx Rata-rata dan ragam untuk sebaran poisson dengan menggunakan fungsi pembangkit momen adalah M ' (t ) e m ( e t 1) t (me me ) dan M " (t ) e m ( e t 1) (me me ) e m ( e t t 1) t (me me ) 2 maka rata-rata : = M'(0) = m dan ragamnya adalah 2 = M"(0) 2 = m + m 2 - m 2 = m Jadi sebaran poisson mempunyai rata-rata sama dengan ragamnya yaitu m>0.
© Copyright 2024 Paperzz
